Regressione lineare multipla (MLR): cos’è, formula e come si interpreta
Indice
La regressione lineare multipla (MLR) estende la regressione semplice al caso in cui più cause concorrono a spiegare lo stesso fenomeno. Il modello stima l'effetto di ogni variabile tenendo costanti le altre, ed è questo a renderlo utile in finanza per isolare l'impatto di un singolo fattore su un rendimento o su un prezzo.
In questa guida trovi la formula, l'interpretazione dei coefficienti, le assunzioni che il modello deve rispettare prima di essere letto e gli indicatori con cui si misura la qualità della stima.
Per riprodurre gli esempi di questa guida serve una piattaforma da cui esportare serie storiche e lavorare sui grafici.
Cos'è la regressione lineare multipla (MLR)?
La regressione lineare multipla è una tecnica statistica che stima il valore di una variabile dipendente a partire da due o più variabili indipendenti. Il legame è lineare nei parametri: ogni variabile entra nel modello moltiplicata per un coefficiente e i contributi si sommano.
Il risultato non è una previsione puntuale, ma un valore atteso. Attorno a quel valore resta sempre una componente di errore che raccoglie tutto ciò che le variabili scelte non riescono a spiegare.
Differenza tra regressione lineare semplice e multipla
Nella regressione semplice una sola variabile x spiega la y e la relazione si rappresenta con una retta su un piano. Con due esplicative la retta diventa un piano, con tre o più un iperpiano che non si può disegnare.
La differenza sostanziale però è un'altra. Spiegare con una sola variabile un fenomeno che ne ha diverse produce la cosiddetta distorsione da variabili omesse: il coefficiente della variabile inclusa assorbe l'effetto di quelle escluse e risulta sistematicamente sbagliato.
Variabile dipendente e variabili indipendenti
La variabile dipendente (o di risposta) è il fenomeno che si vuole prevedere o spiegare: un rendimento, un prezzo, un rating creditizio. È l'esito osservato, il cui valore dipende da una combinazione di altri fattori.
Le variabili indipendenti (o esplicative) sono i fattori che si presume influenzino la risposta. In un modello multiplo sono due o più e ognuna contribuisce con un peso diverso alla previsione del valore atteso.
Ad esempio, per prevedere il rendimento di un'azione (variabile dipendente) si possono usare come esplicative l'andamento dell'indice di mercato, i tassi d'interesse e la volatilità attesa.
La selezione delle esplicative è la parte più delicata del lavoro. Variabili ridondanti o fortemente correlate tra loro non aggiungono informazione e destabilizzano le stime dei coefficienti.
La formula della regressione lineare multipla
Dove:
- Yᵢ: variabile dipendente osservata sull'unità i.
- β₀: intercetta, cioè il valore atteso di Y quando tutte le esplicative valgono 0.
- β₁ … βₚ: coefficienti di regressione, uno per ogni variabile indipendente.
- εᵢ: termine di errore casuale (residuo), che raccoglie ciò che il modello non spiega.
Come si interpretano i coefficienti di regressione
Ogni coefficiente si legge «a parità di tutto il resto». Se β₁ vale 0,8 in un modello che spiega il rendimento di un titolo con quello dell'indice, un punto in più dell'indice si associa a 0,8 punti in più del titolo, tenendo fermi gli altri fattori.
Il segno indica la direzione della relazione, la grandezza la sua intensità. Attenzione però alle unità di misura: coefficienti espressi su scale diverse non sono confrontabili tra loro se non dopo una standardizzazione delle variabili.
L'intercetta ha un significato economico solo quando il valore zero è plausibile per tutte le esplicative. Nei modelli finanziari β₀ è quasi sempre un parametro tecnico e non va interpretata come un rendimento di base.
Il metodo dei minimi quadrati ordinari (OLS)
I coefficienti si stimano quasi sempre con i minimi quadrati ordinari (OLS, ordinary least squares), il metodo che sceglie i valori di β capaci di minimizzare la somma dei quadrati degli scarti tra valori osservati e valori previsti.
Il teorema di Gauss-Markov garantisce che, se le assunzioni del modello reggono, lo stimatore OLS è il più efficiente tra quelli lineari e corretti. Quando un'assunzione salta, quella garanzia decade e servono stimatori alternativi come i minimi quadrati generalizzati o ponderati.
Le assunzioni della regressione lineare multipla
Prima di leggere i coefficienti bisogna verificare che il modello sia legittimo. Le assunzioni che seguono non sono formalità accademiche: violarle rende p-value e intervalli di confidenza inaffidabili, anche quando l'R² sembra eccellente.
Linearità della relazione
Si assume che la variabile di risposta dipenda linearmente dai parametri del modello. Se il grafico dei residui contro i valori previsti mostra una curvatura sistematica, la specificazione scelta è sbagliata.
La soluzione non è abbandonare la regressione, ma trasformarla. Logaritmi, radici o termini quadratici rendono lineare una relazione che nei dati grezzi non lo è.
Normalità e omoschedasticità dei residui
Non basta che i residui siano piccoli. Devono distribuirsi normalmente attorno allo zero e avere la stessa varianza per ogni combinazione delle esplicative, condizione che in statistica si chiama omoschedasticità.
La normalità si verifica con un grafico Q-Q o con il test di Shapiro-Wilk; l'omoschedasticità con i test di Breusch-Pagan o di White. In presenza di eteroschedasticità si ricorre a errori standard robusti.
Assenza di multicollinearità tra le variabili indipendenti
Quando due esplicative sono strettamente correlate, il modello fatica ad attribuire l'effetto all'una o all'altra: entrambe risultano non significative anche se, inserite da sole, spiegherebbero bene la risposta.
L'indicatore standard è il VIF (variance inflation factor). Valori sopra 5 segnalano un problema da valutare, sopra 10 una multicollinearità grave che impone di eliminare una variabile o di combinarle in un indice sintetico.
Esiste anche un controllo rapido che non richiede calcoli: osservare se i coefficienti già stimati diventano instabili quando si aggiunge una nuova variabile al modello.
Indipendenza degli errori e numerosità campionaria
Gli errori devono essere indipendenti tra loro. Nelle serie storiche finanziarie la condizione salta spesso, e il test di Durbin-Watson — con valori attorno a 2 in assenza di autocorrelazione — è il controllo minimo da eseguire.
Sulla dimensione del campione la regola pratica più diffusa chiede da 10 a 20 osservazioni per ogni variabile indipendente. Con numeri più bassi la potenza statistica crolla e aumentano gli errori di secondo tipo, cioè le variabili rilevanti scartate per errore.
Una formula più precisa è quella proposta da Green (1991) su Multivariate Behavioral Research: almeno 50 + 8m osservazioni per testare il modello nel suo insieme, dove m è il numero di esplicative, e 104 + m per valutare i singoli coefficienti.
Trattamento delle osservazioni anomale
Gli outlier vanno identificati prima di interpretare i risultati, perché poche osservazioni estreme possono ribaltare il segno di un coefficiente. Gli strumenti standard sono la distanza di Cook e i residui studentizzati.
Non tutti gli outlier si eliminano. A volte sono errori di inserimento dei dati e vanno corretti; altre volte sono osservazioni legittime — un crollo di mercato, un'operazione straordinaria — che il modello deve poter descrivere.
Come si valuta un modello: R², R² corretto e p-value
Un modello stimato non è ancora un modello valido. Questi sono gli indicatori che compaiono nell'output di qualsiasi software statistico e che vanno letti insieme:
| Indicatore | Cosa misura | Come si legge |
|---|---|---|
| R² | Quota di varianza di Y spiegata dal modello | Tra 0 e 1; cresce sempre aggiungendo variabili |
| R² corretto | Come R², ma penalizza le variabili inutili | Scende se una variabile non aggiunge potere esplicativo |
| Test F | Significatività complessiva del modello | p-value < 0,05: almeno un coefficiente è diverso da zero |
| Test t sui β | Significatività del singolo coefficiente | p-value < 0,05: la variabile contribuisce alla stima |
| AIC e BIC | Confronto tra modelli alternativi | Vince il modello con il valore più basso |
L'errore più comune è scegliere il modello con l'R² più alto. Aggiungendo variabili l'R² non può che salire, anche quando quelle variabili sono solo rumore: il confronto va fatto sull'R² corretto oppure su AIC e BIC.
Vale poi il criterio della parsimonia. A parità di capacità predittiva, il modello con meno esplicative è più semplice da interpretare e generalizza meglio fuori dal campione su cui è stato stimato.
A cosa serve la regressione lineare multipla nell'analisi finanziaria
In finanza la MLR serve a scomporre un risultato nei fattori che lo determinano. Le applicazioni più frequenti sull'analisi di mercato sono cinque:
- Stimare il rendimento di un'azione a partire dall'andamento dell'indice di riferimento (es. S&P 500), dai tassi d'interesse e dalla volatilità di mercato.
- Valutare il prezzo equo di un titolo in funzione di variabili fondamentali come utili per azione (EPS), flusso di cassa operativo e leva finanziaria.
- Scomporre la performance di un portafoglio tra i fattori di rischio a cui è esposto: è la logica dei modelli multifattoriali, dai tre fattori di Fama e French (1993) in poi.
- Costruire modelli di scoring del rischio di credito su indicatori aziendali come il rapporto debito/patrimonio o la variabilità degli utili.
- Misurare l'impatto delle variabili macroeconomiche — PIL, inflazione, tasso di disoccupazione — su un singolo asset o su un intero mercato.
Esempio pratico: stimare il rendimento di un'azione
Ipotizziamo di voler spiegare il rendimento mensile di un titolo italiano con tre esplicative: il rendimento del FTSE MIB, la variazione del rendimento del BTP decennale e un indice di volatilità attesa.
Stimato su cinque anni di dati mensili, il modello restituisce tre coefficienti. Quello sull'indice ha un'interpretazione nota a chiunque faccia analisi: è il coefficiente beta del titolo, cioè la sua sensibilità al mercato.
Con la sola variabile di mercato si ottiene il modello di mercato, la cui pendenza è il beta del titolo; per leggere la stima nella forma del CAPM servono i rendimenti in eccesso rispetto al tasso privo di rischio, non i rendimenti grezzi. Aggiungendo tassi e volatilità si passa a un modello multifattoriale che spiega una quota maggiore della varianza.
Restano poi da completare le diagnostiche: residui, multicollinearità fra tassi e volatilità, autocorrelazione. Lo stesso percorso vale quando si vuole usare la regressione lineare nel trading direttamente sulle serie di prezzo.
Per costruire questi modelli servono serie storiche esportabili e strumenti di analisi grafica: sono funzioni che le piattaforme dei principali broker mettono a disposizione nei conti ordinari.
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Regressione multipla, multivariata e non lineare: le differenze
I tre termini vengono spesso usati come sinonimi, ma descrivono modelli diversi per numero di variabili e per obiettivo:
| Modello | Variabili dipendenti | Variabili indipendenti |
|---|---|---|
| Regressione lineare semplice | 1 | 1 |
| Regressione lineare multipla | 1 | 2 o più |
| Regressione multivariata | 2 o più | 1 o più |
| Regressione non lineare | 1 | 1 o più |
La regressione multivariata serve quando si vogliono spiegare simultaneamente più risultati correlati fra loro, tipicamente in analisi macroeconomiche o aziendali con più indicatori di performance.
La regressione non lineare, invece, si usa quando la relazione non è rappresentabile con una retta. È più flessibile ma più difficile da stimare e, con campioni ridotti, tende a sovra-adattarsi ai dati.
Quando l'obiettivo non è prevedere ma capire quanto un risultato cambia al variare di un'ipotesi, lo strumento adatto è piuttosto l'analisi di sensibilità, che non richiede la stima di un modello statistico.
Come fare una regressione lineare multipla con Excel, Python o R
Il calcolo non richiede software specialistico né competenze di programmazione avanzate. Le tre strade più usate sono queste:
- Excel: attivare il componente aggiuntivo Strumenti di analisi e usare la funzione Regressione, che restituisce coefficienti, R², R² corretto e test F.
- Python: la libreria
statsmodels(funzioneOLS) fornisce l'output diagnostico completo;scikit-learnè preferibile quando l'obiettivo è la previsione più che l'inferenza. - R: la funzione
lm()è lo standard, affiancata davif()del pacchetto car per la multicollinearità e dai grafici diagnostici diplot().
Qualunque sia lo strumento, l'ordine di lavoro non cambia: esplorare i dati con grafici di dispersione, controllare le correlazioni tra esplicative, stimare il modello e validare le assunzioni prima di leggere i coefficienti.
In sintesi, la regressione lineare multipla spiega una variabile a partire da più fattori e misura il contributo di ciascuno a parità degli altri. La sua affidabilità però dipende interamente dalle assunzioni del modello: linearità, omoschedasticità, normalità dei residui e assenza di multicollinearità.
Chi la usa per decisioni di investimento dovrebbe partire da una specificazione semplice, controllare i grafici diagnostici e aggiungere variabili solo quando migliorano l'R² corretto. Un modello parsimonioso e validato batte quasi sempre uno complesso stimato senza verifiche.
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