Teoria del portafoglio di Markowitz: il concetto ed esempi

Teoria del portafoglio di Markowitz? In qualità di investitori, cerchiamo sempre di diversificare il nostro rischio nella scelta degli asset per il nostro portafoglio di investimenti. Oggi spiegheremo “teoria del portafoglio di Markowitz, il concetto ed esempi”. La conoscenza di questa teoria sarà un buon strumento per soddisfare i nostri scopi. Chi ha scoperto l’importanza della diversificazione di un portafoglio finanziario?

la teoria del portafoglio di Markowitz è valida?

L’economista Harry Markowitz è considerato il padre del concetto di diversificazione di portafoglio che oggi conosciamo.

Recensione storica su chi è Harry Markowitz

Nato a Chicago, Ilinois, Harry Markowitz è nato nel 1927. È membro della prestigiosa “Chicago School of Economics”, essendo uno dei più importanti analisti di investimento a livello mondiale, scrive il suo articolo “Portfolio Selection“, pubblicato nel 1952. Basandosi su questo portfolio nella sua tesi di dottorato, un fatto che segnerà la sua carriera e aprirà un nuovo campo nello studio della composizione ottimale di un portafoglio di investimenti.

Riceve il Premio Nobel per l’economia, per i suoi contributi alla teoria della gestione del portafoglio, insieme a Miller e Sharpe.

Modello di Markowitz, ipotesi su cui si basa

La Teoria del Portafoglio di Harry Markowitz, introdotta nel 1952, rappresenta un pilastro fondamentale nella moderna teoria finanziaria, ponendosi come una pietra miliare nel campo dell’investimento e della gestione del rischio. Questa teoria, nota anche come “Teoria del Portafoglio Moderno” (MPT), si basa sul concetto di diversificazione, proponendo un metodo quantitativo per l’assemblaggio di un portafoglio di attivi che mira a massimizzare il rendimento per un dato livello di rischio.

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Il modello si basa fondamentalmente su due ipotesi, che indichiamo di seguito:

Ipotesi sul comportamento e metodo razionale di scelta dell’investitore

  • Tutti gli individui si comportano razionalmente e quindi sono incrementatori della loro funzione di utilità attesa.
  • La funzione di profitto atteso dell’investitore dipende esclusivamente dal rendimento atteso, come misura della redditività, e dalla varianza o deviazione standard come misura del rischio.
  • Le funzioni di utilità degli investitori sono monotone e in aumento, quindi per il portafoglio di titoli con la stessa varianza, si preferisce il portafoglio con il rendimento atteso più elevato.
  • Gli investitori sono avversi al rischio, quindi per un portafoglio di titoli con lo stesso rendimento atteso, è preferibile il portafoglio con la varianza più bassa.
  • Le curve di indifferenza o utilità sono crescenti (maggiore è il rischio, maggiore è il rendimento richiesto) e convesse (minor rischio minor rendimento richiesto) e indicano le combinazioni rendimento-rischio che forniscono la stessa utilità all’investitore. Le curve più a sinistra e verso l’alto rappresentano livelli di utilità attesi più elevati.

Ipotesi su asset e mercati finanziari

  1. I mercati finanziari sono considerati perfetti:
    1. Tutte le informazioni sono ugualmente disponibili e gratuite per tutti i partecipanti al mercato.
    2. Non ci sono costi di transazione per la vendita e l’acquisto di attività finanziarie
    3. I titoli sono infinitamente divisibili. Qualsiasi parte del budget può essere investita in essi.
    4. Non c’è inflazione o tasse nell’economia.
    5. Gli investitori prendono il prezzo.
  2. Tutti gli investitori hanno la stessa ampiezza nel loro orizzonte di pianificazione, che è un periodo. All’inizio del periodo acquisiscono un certo portafoglio di titoli che vendono alla fine del periodo in questione.
  3. N attività finanziarie rischiose e le loro combinazioni sono negoziate sui mercati finanziari. Non è prevista l’esistenza di un‘attività finanziaria priva di rischio in cui investire o con cui finanziarsi.
  4. I titoli sono immediatamente liquidi alla fine del periodo di riferimento.
  5. Non sono ammesse vendite allo scoperto.

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Come si sviluppa la teoria di Markowitz

Il modello proposto mira a determinare il “portafoglio ottimale”, cioè quello che massimizza l’utilità attesa dall’investitore.

A tal fine, viene determinato un processo in quattro fasi:

  • 1. Determinazione dell’insieme delle possibilità di investimento offerte dal mercato (insieme vitale)
    • A.- Vengono analizzate le “N” attività rischiose e gli eventuali portafogli negoziati sui mercati, stimandone la redditività attesa, le varianze e le covarianze tra i rendimenti di ciascuna coppia di possibili attività finanziarie.
    • B.- Con due titoli con correlazione intermedia, le combinazioni si trovano su un’iperbole tracciata tra tali livelli, il cui grado di curvatura è tanto maggiore quanto minore è la correlazione tra i rendimenti dei due asset.
    • C.- Con N attività finanziarie e correlazione intermedia è una regione che chiamiamo un insieme vitale.
  • 2. Determinazione dell’insieme o della frontiera efficiente.

Portafoglio efficiente: è quello che soddisfa due condizioni:

  • 1. Per il tuo livello di rendimento atteso, non c’è nessun altro portafoglio che abbia un rischio inferiore.
  • 2. Per il rischio che comporta, non vi è altra opportunità di investimento che consenta di ottenere un rendimento atteso più elevato, ovvero fornisce il massimo rendimento atteso possibile per il proprio livello di rischio.

Come si sviluppa analiticamente il modello

L’insieme dei portafogli efficienti può essere calcolato risolvendo il seguente programma quadratico parametrico:

  • • Xi: è la percentuale del budget dell’investitore assegnata alle attività finanziarie
  • • i: sconosciuto del programma
  • • σ ^ 2 (Rp): varianza del portafoglio p
  • • ij: covarianza tra i rendimenti dei valori i e j
  • • E (Rp): redditività o rendimento atteso del portafoglio p

L’insieme delle coppie [E (Rp), σ ^ 2 (Rp)] o le combinazioni rischio-rendimento di tutti i portafogli efficienti è chiamato “frontiera efficiente“. Una volta noto, l’investitore, in base alle sue preferenze, sceglierà il suo portafoglio ottimale.

Quando un portafoglio si dice efficiente secondo Markowitz?

Un portafoglio si definisce “efficiente” secondo Markowitz quando occupa una posizione tale sulla frontiera efficiente che non è possibile ottenere un maggiore rendimento senza accettare un aumento proporzionale del rischio. In termini pratici, un portafoglio efficiente è quello che offre il miglior rendimento atteso per un dato livello di volatilità (o deviazione standard), oppure il minor rischio per un dato livello di rendimento atteso.

Come si calcola il valore di un portafoglio?

Il rendimento atteso di un portafoglio (E(Rp)) è calcolato come la somma ponderata dei rendimenti attesi delle singole attività che lo compongono. Matematicamente, viene espresso come:

E(Rp​)=∑(wi​×E(Ri​))

dove wi​ rappresenta il peso dell’i-esima attività nel portafoglio e E(Ri​) è il rendimento atteso dell’i-esima attività. Questa formula implica che l’investitore deve considerare non solo il rendimento atteso di ogni attività, ma anche come queste attività si combinano tra loro, in termini di correlazione finanziaria, per formare il portafoglio.

Svantaggi del modello Markowitz

  1. Complessità matematica del modello: inizialmente si è affermato che l’algoritmo di risoluzione era complesso e che l’elevato numero di stime di rendimenti attesi, varianze e covarianze da calcolare era molto elevato. Anche se vale la pena notare che oggi con l’hardware e il software appropriati la risoluzione dello stesso è molto semplificata. Come ad esempio in EXCEL.
  2. Ipotesi del modello: il modello di Markowitz non tiene conto dei costi di transazione o delle tasse e considera anche la perfetta divisibilità dei titoli selezionati. Questi svantaggi possono essere risolti introducendo nuove restrizioni al modello
  3. Valutazione del rischio: il modello non ha alcuno strumento per l’investitore per valutare il suo atteggiamento nei confronti del rischio e dedurre la sua funzione di utilità, necessaria per determinare il suo portafoglio ottimale.

Per concludere, possiamo dire che il modello di Markowitz richiede di investire il 100% del capitale disponibile per effettuare l’analisi. Tuttavia, è l’investitore che decide se salvare i propri flussi altrove o spenderli. Ma in termini di rapporto costi-benefici, il modello soddisfa quanto richiesto.

Ci aiuta anche a diversificare gli investimenti, un aspetto molto importante. Poiché il rischio è il fattore che necessita di maggiori dettagli, se il rischio è controllato, il reddito fluirà. Le statistiche sugli investimenti sono uno strumento molto potente e padroneggiarle è molto necessario.

Quali sono le principali problematiche del modello di Markowitz?

Nonostante l’ampia applicazione e l’influenza del modello di Markowitz nell’ambito della gestione degli investimenti, esso non è privo di criticità:

  1. Stime puntuali: Il modello richiede come input il rendimento medio atteso e la deviazione standard dei rendimenti delle attività. Questi parametri sono basati su stime storiche che possono non essere rappresentative del futuro, rendendo il modello sensibile alla precisione di queste stime.
  2. Ipotesi di normalità dei rendimenti: Markowitz presuppone che i rendimenti degli investimenti seguano una distribuzione normale. Tuttavia, nella realtà, i rendimenti possono presentare asimmetrie e leptocurtosi (cioè una maggiore probabilità di ottenere risultati estremi rispetto a una distribuzione normale).
  3. Ottimizzazione basata su variabili storiche: Il processo di ottimizzazione del modello si basa su dati storici che possono non essere più validi nel futuro, specialmente in mercati finanziari caratterizzati da alta volatilità e da rapidi cambiamenti.

La teoria del portafoglio di Markowitz può essere utilizzata?

Nonostante le sue limitazioni, la teoria di Markowitz rimane uno strumento prezioso per gli investitori che cercano di costruire portafogli diversificati. L’impiego di software di ottimizzazione moderni e l’accesso a vasti database finanziari hanno semplificato l’applicazione del modello. Gli investitori possono, inoltre, utilizzare tecniche di simulazione come il Monte Carlo per testare la robustezza dei portafogli ottimizzati contro differenti scenari di mercato, mitigando alcuni dei limiti legati all’uso di dati storici.

In conclusione, nonostante le sfide e le criticità, il modello di Markowitz continua a offrire intuizioni fondamentali per la creazione di portafogli efficienti, enfatizzando l’importanza della diversificazione e dell’equilibrio tra rendimento e rischio.

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