Modello di Markowitz: teoria del portafoglio, frontiera efficiente ed esempi
Indice
Il modello di Markowitz è la teoria che, dal 1952, spiega come costruire un portafoglio bilanciando rendimento e rischio attraverso la diversificazione, anziché valutare i singoli titoli in isolamento. Basse correlazioni tra i titoli riducono il rischio complessivo senza sacrificare il rendimento atteso.
Nota anche come Teoria Moderna del Portafoglio (Modern Portfolio Theory, MPT), è il modello che ha reso quantificabile la diversificazione, superando l'approccio puramente intuitivo che dominava l'analisi finanziaria fino agli anni '50. Chi ha scoperto questa idea e come si applica in pratica, con esempi concreti, è quanto vediamo di seguito.
L'economista Harry Markowitz è considerato il padre del concetto di diversificazione di portafoglio che oggi conosciamo.
Confrontare strumenti e costi per costruire portafogli diversificati:
Prodotti offerti
Azioni, ETF, CFD, Forex, Criptovalute, Commodities
Azioni, ETF, CFD, Forex, Commodities, Criptovalute, Piano d'Accumulo del Capitale
Piattaforma
WebTrader
xStation
Chi è Harry Markowitz
Harry Markowitz nasce a Chicago, in Illinois, nel 1927. Ancora studente, entra a far parte della Cowles Commission for Research in Economics e nel 1952 pubblica l'articolo "Portfolio Selection" sul Journal of Finance, alla base della sua tesi di dottorato. Quel lavoro apre un nuovo campo di studio: la composizione ottimale di un portafoglio di investimenti diversificato.
Nel 1990 riceve il Premio Nobel per l'Economia per i suoi contributi alla teoria della gestione del portafoglio, condiviso con Merton Miller e William Sharpe. Markowitz è scomparso nel giugno 2023, a 95 anni, lasciando un'eredità che ancora oggi guida la gestione del rischio negli investimenti.
Modello di Markowitz: ipotesi di base
La Teoria del Portafoglio di Harry Markowitz, introdotta nel 1952, rappresenta un pilastro fondamentale della moderna teoria finanziaria: propone un metodo quantitativo per assemblare un portafoglio di attivi che massimizzi il rendimento per un dato livello di rischio.
Il modello si basa fondamentalmente su due ipotesi, che spieghiamo di seguito.
Ipotesi sul comportamento dell'investitore
- Gli investitori sono razionali e massimizzano l'utilità attesa.
- L'utilità dipende da rendimento atteso (redditività) e varianza/deviazione standard (rischio).
- A varianza uguale si preferisce il rendimento più alto; a rendimento uguale si preferisce la varianza più bassa.
- Le curve di indifferenza sono crescenti e convesse: maggiore rischio = maggiore rendimento richiesto.
Ipotesi su asset e mercati finanziari
- Mercati perfetti: informazioni disponibili e gratuite, assenza di costi di transazione e tasse.
- I titoli sono divisibili; gli investitori sono price taker.
- Orizzonte di pianificazione a un periodo.
- Esistono N attività rischiose negoziate; nella versione base non si assume un'attività priva di rischio.
- I titoli sono liquidi a fine periodo.
- Short selling non ammesso (ipotesi spesso usata nella versione conservativa del modello).
Il collante tra queste ipotesi è la correlazione: la misura di quanto i rendimenti di due titoli si muovono insieme. Una correlazione vicina a +1 indica movimenti nella stessa direzione, vicina a -1 movimenti opposti, e vicina a 0 rendimenti indipendenti tra loro.
Il modello di Markowitz sfrutta correlazioni basse o negative tra i titoli per costruire portafogli con un rischio complessivo inferiore alla semplice somma dei rischi individuali.
Vuoi diversificare il portafoglio?
Prodotti offerti
Azioni, ETF, CFD, Forex, Criptovalute, Commodities
Azioni, ETF, CFD, Forex, Commodities, Criptovalute, Piano d'Accumulo del Capitale
Piattaforma
WebTrader
xStation
Come si sviluppa il modello di Markowitz
Il modello proposto mira a determinare il "portafoglio ottimale", cioè quello che massimizza l'utilità attesa dall'investitore.
A tal fine, viene determinato un processo in quattro fasi:
- Determinazione dell'insieme delle possibilità di investimento offerte dal mercato (insieme vitale)
- A.- Vengono analizzate le "N" attività rischiose e gli eventuali portafogli negoziati sui mercati, stimandone la redditività attesa, le varianze e le covarianze tra i rendimenti di ciascuna coppia di possibili attività finanziarie.
- B.- Con due titoli con correlazione intermedia, le combinazioni si trovano su un'iperbole tracciata tra tali livelli, il cui grado di curvatura è tanto maggiore quanto minore è la correlazione tra i rendimenti dei due asset.
- C.- Con N attività finanziarie e correlazione intermedia è una regione che chiamiamo un insieme vitale.
- Determinazione dell'insieme o della frontiera efficiente.
- Determinazione delle curve di indifferenza dell'investitore, che rappresentano le combinazioni di rischio e rendimento che gli generano la stessa utilità, in base al suo grado di aversione al rischio.
- Scelta del portafoglio ottimale, individuato nel punto in cui una curva di indifferenza è tangente alla frontiera efficiente: la combinazione rischio-rendimento che massimizza l'utilità attesa di quello specifico investitore.
Portafoglio efficiente: è quello che soddisfa due condizioni:
- Per il tuo livello di rendimento atteso, non c'è nessun altro portafoglio che abbia un rischio inferiore.
- Per il rischio che comporta, non vi è altra opportunità di investimento che consenta di ottenere un rendimento atteso più elevato, ovvero fornisce il massimo rendimento atteso possibile per il proprio livello di rischio.
Come si sviluppa analiticamente il modello di Markowitz
L'insieme dei portafogli efficienti può essere calcolato risolvendo il seguente programma quadratico parametrico:
- • Xi: è la percentuale del budget dell'investitore assegnata alle attività finanziarie
- • i: sconosciuto del programma
- • σ ^ 2 (Rp): varianza del portafoglio p
- • ij: covarianza tra i rendimenti dei valori i e j
- • E (Rp): redditività o rendimento atteso del portafoglio p
L'insieme delle coppie [E (Rp), σ ^ 2 (Rp)] o le combinazioni rischio-rendimento di tutti i portafogli efficienti è chiamato "frontiera efficiente". Una volta noto, l'investitore, in base alle sue preferenze, sceglierà il suo portafoglio ottimale.
All'estremità sinistra della frontiera efficiente si trova il portafoglio a varianza minima (Minimum Variance Portfolio, MVP): la combinazione con il rischio più basso possibile, indipendentemente dal rendimento atteso.
Vuoi imparare a costruire e testare la frontiera? Provaci sui conti demo dei migliori broker:
Quando un portafoglio si dice efficiente secondo Markowitz?
Un portafoglio si definisce "efficiente" secondo Markowitz quando occupa una posizione tale sulla frontiera efficiente che non è possibile ottenere un maggiore rendimento senza accettare un aumento proporzionale del rischio.
In termini pratici, un portafoglio efficiente offre il miglior rendimento atteso per un dato livello di volatilità (o deviazione standard), oppure il minor rischio per un dato livello di rendimento atteso.
Come si calcola il rendimento atteso di un portafoglio?
Il rendimento atteso di un portafoglio (E(Rp)) è calcolato come la somma ponderata dei rendimenti attesi delle singole attività che lo compongono. Matematicamente, viene espresso come:
E(Rp)=∑(wi×E(Ri))
dove wi rappresenta il peso dell'i-esima attività nel portafoglio e E(Ri) è il rendimento atteso dell'i-esima attività. Questa formula implica che l'investitore deve considerare non solo il rendimento atteso di ogni attività, ma anche come queste attività si combinano tra loro, in termini di correlazione finanziaria, per formare il portafoglio.
Esempi pratici del modello di Markowitz
Un esempio numerico semplice aiuta a capire il meccanismo. Supponiamo due titoli con lo stesso rendimento atteso del 6% e la stessa volatilità del 20%: con una correlazione di 1, cioè quando si muovono in modo identico, un portafoglio equipesato mantiene lo stesso 20% di volatilità del singolo titolo.
Con una correlazione pari a 0, invece, la volatilità del portafoglio scende a circa il 14% a parità di rendimento atteso: è l'effetto della diversificazione, non un titolo "migliore" degli altri.
Diverse strategie di asset allocation applicano lo stesso principio combinando classi di attivo con basse correlazioni: dal semplice lazy portfolio azionario-obbligazionario al più articolato portafoglio All-Weather di Ray Dalio.
Quest'ultimo aggiunge oro e materie prime per resistere a più scenari economici; il Golden Butterfly Portfolio segue una logica simile con un mix diverso tra azioni, obbligazioni e oro.
Nessuna di queste combinazioni garantisce risultati futuri: sono esempi di come applicare, oltre settant'anni dopo la sua pubblicazione, lo stesso principio alla base del modello di Markowitz.
Vantaggi e svantaggi del modello Markowitz
Vantaggi
- Diversificazione misurabile e non solo intuitiva
- Definisce la frontiera efficiente e chiarisce il trade-off rischio/rendimento
- Rigore matematico e replicabilità
- Base per l'asset allocation con vincoli (no short, pesi min/max)
- Facilmente implementabile con software comuni (es. Excel)
Svantaggi
- Forte sensibilità agli input: piccole variazioni di rendimenti, varianze e covarianze cambiano molto i pesi
- Ipotesi semplificatrici (mercati "perfetti", niente costi né tasse, perfetta divisibilità dei titoli)
- Assunzione di normalità dei rendimenti, che nella realtà mostrano code più spesse e asimmetrie
- Matrice di covarianza fragile quando ci sono molti asset e pochi dati storici
- Overfitting sui dati storici: risultati poco robusti fuori campione e sensibili al regime di mercato
- Non identifica la funzione di utilità dell'investitore né il suo reale grado di aversione al rischio
- Vincolo di pieno investimento (100% del capitale, senza posizione in liquidità di default)
- Ribilanciamento frequente necessario per mantenere l'allocazione efficiente, con costi operativi ricorrenti
Molti di questi limiti sono stati affrontati da sviluppi successivi: James Tobin ha introdotto un titolo a rischio nullo nella frontiera, ipotesi alla base del modello CAPM di Sharpe, che collega il rendimento atteso di un titolo al rischio di mercato tramite il beta.
Il modello di Markowitz resta comunque il punto di partenza di quasi tutta la teoria di portafoglio successiva.
In sintesi, il modello di Markowitz resta uno strumento prezioso per costruire portafogli diversificati, nonostante i suoi limiti sui mercati reali. Simulazioni come il Monte Carlo permettono oggi di testarne la robustezza contro diversi scenari, mitigando parte dei limiti legati ai dati storici.
Per un investitore che parte da zero, il punto di partenza pratico è sempre lo stesso: combinare asset con basse correlazioni, non inseguire il singolo titolo migliore. Che si tratti di azioni, ETF o obbligazioni, questo principio riduce il rischio complessivo senza rinunciare al rendimento atteso.